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【数学之美】数学绝对美!看完都会深深的爱上数学!

2017-04-26

数学遇到音乐


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△“音乐界的数学家”巴赫

古希腊哲学家毕达哥拉斯就认为,音乐的和谐来自某个距离比率的数字。他在肠弦末端绑上重物,发现重量比是2:1时,肠弦发出了八度音程;重量比是3:2时,得五度音程……

巴赫将这种音程的和谐关系运用到实践中。他在一千多首作品,穷尽了对位法的组合,充满了规则和秩序。规则不是教条,秩序来自热忱。《哥德堡变奏曲》中,声部间回转、分离、穿插、偶遇、对称、并流,每一细节都静稳妥帖,每一褶皱与镂痕都纤毫毕现。他的作品中,一个音符都不能改。

巴赫因此被誉为音乐界的数学家。

数学遇到建筑

巴洛克艺术讲究数学的“绝对美”。在巴洛克建筑中有很多对称和数字上的精确要求,比如几何曲线的弧度,廊柱上的涡卷饰的数目。爱奥尼克的罗马柱,柱身要求凿出24条凹槽,少一条都不可;柱子上精雕着棕榈叶,莲花辫、卵型花边或串珠饰,若少一瓣叶子、少一颗珠子都不对。这种繁复绮丽的建筑,若缺少结构中数学的“高阶和谐”和“绝对美”,一定混乱得可怕。

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数学遇到爱情

笛卡尔是近代数学的始祖,被誉为解析几何之父。笛卡尔一生只爱过一个人,她就是瑞典公主克里斯汀,公主也被他的魅力折服。但他们地位不等,年龄相差甚远,国王强迫他们分开。此后笛卡尔身患重病,但他仍每天给公主写信。写完第13封信,笛卡尔永远离开了这个世界。

这封信上只有一个方程式:r=a(1-sinθ)。

画出来的,就是著名的"心形线"。

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而这封享誉世界的另类情书,至今还保存在欧洲的笛卡尔纪念馆里,纪念这段唯美的爱情

数学遇到诗词

怨郎诗

一朝别后,二地相悬。

只说是三四月,又谁知五六年?

七弦琴无心弹,八行书无可传。

九连环从中折断,十里长亭望眼欲穿。

百思想,千系念,万般无奈把郎怨。

万语千言说不完,百无聊赖,十依栏杆。

九重九登高看孤雁,八月仲秋月圆人不圆。

七月半,秉烛烧香问苍天,

六月三伏天,人人摇扇我心寒。

五月石榴红似火,偏遇阵阵冷雨浇花端。

四月枇杷未黄,我欲对镜心意乱。

忽匆匆,三月桃花随水转。

飘零零,二月风筝线儿断。

噫,郎呀郎,

巴不得下一世,你为女来我做男。


赏析:相传此诗为西汉才女卓文君所作。西汉年间,著名辞赋文人司马相如和才女卓文君婚后不久,司马相如赴长安做官。卓文君一等五年,终于盼来了丈夫的来信,信中只写了几个数字:“一二三四五六七八九十百千万”。卓文君泪流满面:一行数字中独少了“亿”,无忆,也就是再无思念的意思。卓文君提笔写下回信《怨郎诗》。 司马相如读信后,悔恨不已,深为卓文君的才情和爱意所感动,遂亲迎卓文君到长安。

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山村咏怀

北宋·邵雍

一去二三里,烟村四五家。

亭台六七座,八九十枝花。


赏析:一眼看去有二三里远,薄雾笼罩着四五户人家。村庄旁有六七座凉亭,还有许多鲜花正在绽放。前两句是线状的视觉印象,“一去”做水平运动,”二三“虚指数量多,炊烟袅袅呈垂直状态,“亭台六七座,八九十枝花”两句变换为点状视觉印象:亭台座座,鲜花朵朵。寥寥几笔就构成一幅自然朴实而又朦胧的山村风景画。


《数学之美》(有删减)

演讲者/丘成桐

数学与文学都源于自然之道。

数学
之为学,有其独特之处,它本身是寻求自然界真相的一门科学,但数学家也如文学家般天马行空,凭爱好而创作,故此数学可说是人文科学和自然科学的桥梁。 

数学家研究大自然所提供的一切素材,寻找它们共同的规律。数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分,我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。 

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刘勰在《文心雕龙•原道篇》说,文章之道在于“写天地之辉光,晓生民之耳目。” 刘勰以为文章之可贵,在尚自然,在贵文采。他又说:“人与天地相参,乃性灵所集聚,是以谓之三才,为五行之秀气,实天地之灵气。灵心既生,于是语言以立。语言既立,于是文章着明,此亦原于自然之道也。” 

历代的大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗,见物象而思数学之所出,即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明,也是由于探索自然界的现象而引起的。 广义相对论提出了场方程,它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象,因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂30年,时而迷惘,时而兴奋,自觉同《诗经》、《楚辞》的作者,或晋朝的陶渊明一样,与大自然浑为一体,自得其趣。 

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数学以简洁而富于变化为宗,文采绝不逊于文学创作。

数学
的文采,表现于简洁,寥寥数语,便能道出不同现象的法则,甚至在自然界中发挥作用。我的老师陈省身先生创作的陈氏类,就文采斐然,令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量,在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具,可说是描述大自然美丽的诗篇,直如陶渊明“采菊东蓠下,悠然见南山”的意境。 

从欧氏几何的公理化,到笛卡儿创立的解析几何,到牛顿、来布尼兹的微积分,到高斯、黎曼创立的内蕴几何,一直到与物理学水乳相融的近代几何,都以简洁而富于变化为宗,其文采绝不逊色于任何一件文学创作。 

文学家为了达到最佳意境的描述,需要追究“僧推月下门”与“僧敲月下门”的区别。数学家为了创造美好的理论,也不必依随大自然的规律,只要逻辑推导没有问题,就可以尽情地发挥想像力。 

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数学的研究中,也用“比兴”的方法去寻找真理。

然而
文章终究有高下之分,大致来说,好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。 

中国古诗十九首,作者年代不详,但大家都认为是汉代的作品。刘勰说:“比采而推,两汉之作乎。”这是从诗的结构和风格进行推敲而得出的结论。在数学的研究过程中,我们亦利用比的方法去寻找真理。我们创造新的方向时,不必凭实验,而是凭数学的文化涵养去猜测去求证。 

举例而言,30年前我提出一个猜测,断言三维球面里的光滑极小曲面,其第一特征值等于二。当时这些曲面例子不多,只是凭直觉,利用相关情况模拟而得出的猜测。最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上的比兴很相似。 

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看《洛神赋》:“翩若惊鸿,婉若游龙。荣曜秋菊,华茂春松。髣髴兮若轻云之蔽月,飘飘兮若流风之回雪。”由比喻来刻划女神的体态。 我一方面想像三维球的极小曲面应当是如何的匀称,一方面想像第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙,通过原点的平面将曲面最多切成两块,于是猜想这两个函数应当相等,同时第一特征值等于二。 

当时我与卡拉比教授讨论这个问题,他也相信这个猜测是对的。旁边我的一位研究生问为什么会做这样的猜测,不待我回答,卡教授便微笑说这就是洞察力了。 

数学家和文学家的思维一样敏锐而自由,同样的事物在他们眼中会变成不同的风景。

由于
文学家对事物有不同的感受,同一事或同一物可以产生不同的吟咏。例如对杨柳的描述,温庭筠写“柳丝长,春雨细……”吴文英写“一丝柳,一寸柔情,料峭春寒中酒……”李白写“年年柳色,灞陵伤别。”周邦彦写“柳阴直,烟里丝丝弄碧,隋堤上,曾见几番,拂水飘绵送行色……长亭路,年去岁来,应折柔条过千尺。”晏几道写“舞低杨柳楼心月,歌尽桃花扇底风。” 
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数学家对某些重要的定理,也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有10个以上,等周不等式亦有五六个证明,高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们可以从不同的角度去理解同一个事实,往往引导出数学上不同的发展。 

不少伟大的数学家,以文学、音乐来培养自己的气质,与古人神交,直追数学的本源。

王国维
在《人间词话》里说:“词以境界为最上。有有我之境,有无我之境。‘泪眼问花花不语,乱红飞过秋千去。’有我之境也。‘采菊东蓠下,悠然见南山。’无我之境也。有我之境,以我观物,故物皆着我之色彩。无我之境,以物观物,故不知何者为我,何者为物……自然之物互相关系,互相限制。然其写之于文学及美术中也,必有其关系限制之处。故虽写实家亦理想家也。又虽如何虚构之境,其材料必求之于自然,而其构造亦必从自然之法律。故虽理想家亦写实家也。” 
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数学研究当然也有境界的概念,在某种程度上也可谈有我之境、无我之境,当年尤拉开创变分法和推导流体方程,由自然现象引导,可谓无我之境,他又凭自己的想像力研究发散级数,而得到zeta函数的种种重要结果,开300年数论之先河,可谓有我之境矣。另外一个例子是法国数学家Grothen-dick,他著述极丰,以个人的哲学观点和美感出发,竟然不用实例,建立了近代代数几何的基础,真可谓有我之境矣。 

不少伟大的数学家,以文学、音乐来培养自己的气质,与古人神交,直追数学的本源,来达到高超的意境。《文心雕龙•神思》:“文之思也,其神远矣。故寂然凝虑,思接千载;悄然动容,视通万里。吟咏之间,吐纳珠玉之声,眉睫之前,卷舒风云之色,其思理之致乎。”

本期编辑|以太


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